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 Eigenschaften von Operatoren 
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Chemie Member
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Registriert: 10.06.2007, 21:31
Beiträge: 135
Beitrag Eigenschaften von Operatoren
Ich hab noch so meine Probleme mit den Eigenschaften von Operatoren. Chemgapedia und Wikipedia konnten meine Schwierigkeiten auch nicht ganz klären, daher hoffe ich auf euch. :)

(Vorbemerkung: Operatoren sind bei mir jetzt mal kursive, fette Großbuchstaben, f ist eine Funktion)

Erste Frage: Darf ich Operatoren aufeinander anwenden?
Also wenn ich habe:
ABf,
heisst das dann immer, dass ich zuerst B auf f anwende und dann A auf das Resultat? Oder kann ich zuerst irgendwie A mit B multiplizieren und das dann auf f anwenden? Allgemein: kann man einen Operator mit einem anderen multiplizieren?

Zweitens: ich habe z.B den Operator
(d/dx + x)
Wie sieht das aus, wenn ich den auf eine Funktion f anwende?
ist das dann :
df/dx + x*f
?

Drittens:
Ich will den Operator
(d/dx + x)
quadrieren.
(d/dx + x)² = d²/dx² + 2*d/dx*x + x²
Geht das soweit erstmal?
Jetzt war mein Gedanke, ob ich den mittleren Summanden noch vereinfachen kann, indem ich d/dx auf x anwende (womit wir wieder bei Frage 1 wären), was ja 1 wäre, also
(d/dx + x)² = d²/dx² + x² + 2

Auch ist mir nicht ganz klar, warum nicht
(d/dx + x) = x ist, weil eigentlich steht ja eine unsichtbare 1 hinter dem Operator d/dx, und 1 nach x abgeleitet gibt 0...

Ich hoffe jemand kann mir helfen, würde mich über eine Antwort freuen.
Ich wäre auch dankbar, wenn jemand gute Literatur zu dem Thema Operatoren/ Quantenmechanik empfehlen könnte.


11.06.2008, 15:48
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Chemie Freak
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Beiträge: 778
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Mathe is schon lange her - mal schauen.

Operatoren darfst Du in der Reihenfolge, wie sie angegeben sind, zusammenfassen. Sprich:
ABf = A(Bf) = (AB)f, aber keinesfalls (BA)f ...
Operatoren zusammenfassen macht bspw. Sinn, wenn Verschiebe- und Verzerrungsmatrizen zusammengeführt werden. Bspw (streng der Anweisung folgen!): Vergrößere eine Figur (der einfach halber ein Kreis mit Radius a, Mittelpunkt bei (0,0)) um den Faktor 2. Verschiebe sie anschliessend um 1 Radius auf der x-Achse. Wo befindet sich der neue Mittelpunkt? Nun drehe die Operatoren. Also zuerst um den Radius verschieben und dann vergrößern. (Wichtig! Der Radius des Kreises nach einer Operation beachten!!!)

Zu zweitens:
dein Bsp ist nicht ganz korrekt, denn es muss heissen: (d/dx) f + x*f . Gewöhne dir an, die Ableitung auch als solche zu schreiben (d/dx) und nicht einfach die Funktion in den Zähler zu packen. Bei Gleichungssystemen mit Differentialen auf beiden Seiten könnte das sonst böse ins Auge gehen. Und man sieht deutlicher, wann Integrieren angesagt ist.

Zu drittens:
Die Vereinfachung ist nicht i.O. Denn: (d/dx) x = 1 gilt zwar... aber denke an die Reihenfolge! Nimm für f bspw. x^2 + 2x + 4. Wende darauf einmal x (d/dx) an und das andere Mal (d/dx) x. Es entstehen zwei verschiedene Ergebnisse! Der Punkt ist: die zwei Operatoren miteinander multipliziert ergeben:
(d²/dx²) + x (d/dx) + (d/dx) x + x²
Denke an Erstens! Die Reihenfolge ist entscheidend!

Literatur? Für Mathe ist das so eine Sache. Aber ein Landoldt-Bronstein ist immer eine gute Anschaffung...


11.06.2008, 17:35
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Chemie Member
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Registriert: 10.06.2007, 21:31
Beiträge: 135
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Vielen Dank schonmal, denke ich hab das soweit verstanden!

Eine Frage hätte ich noch zu Kommutatoren.
[A;B] = AB - BA

Aber wie sieht das aus wenn ich
[A;[B;C]]
habe?


11.06.2008, 17:57
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Chemie Freak
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Registriert: 08.10.2006, 12:12
Beiträge: 778
Beitrag 
Einfach streng durchrechnen:
[A;[B;C]]
[A;[BC-CB]]
ABC-BCA-ACB+CBA
ob da noch was zu vereinfachen ist, weiss ich nicht. Ist zu lange her und habe ich ausser in Mathe nie mehr gebraucht...


11.06.2008, 20:02
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